Rectas y Planos

 Solución nº 1

Veamos el rango de M
(a +12-4)-(-6+2+4a) =
-3a + 12 = 0      si a = 4
para a = +2 o para a = -2 el rango de M es 2
Veamos ahora el rango de N
Orlando por la última columna
(a +16 - 20) - ( -8 +10 + 4a) =
-3a  - 6 = 0      si  a = -2
Para a= -2 el rango de N = 2

Así pues para a= -2 los rangos de M y N son iguales a 2 por lo que el sistema es compatible indeterminado de lo que deducimos que la recta está contenida en el plano, es decir son coincidentes.

Y para a = 2 el rango de M es 2 y el de N es 3; por lo que el sistema es incompatible y la recta y el plano son paralelos.

 Solución nº 2

Pondremos la ecuación de r en su forma paramétrica
Multiplicaremos la primera por 2 y restamos la segunda
2x+4y+6z = 8
2x+ y + z = 5
Restando :  3y + 5z = 3  =>  y = 1 -5 z / 3
Multiplicaremos la segunda por 2 y restamos la primera
x+2y+3z = 4
4x+ 2y +2 z = 10
3x - z = 6 =>  x = 2 + z / 3
Haciendo z = 3 l Tendremos la ecuación de la recta r:
x= 2 + l
y = 1 - 5 l  --->dirección de r :: (1,-5,3)
z = 0 + 3 l
La dirección de la normal al
plano es n ::: (-2, 2, 4).-
tanto para a = 2 como para a = -2

Haciendo el producto escalar:
n x r = -2-10+12 = 0 .

Al ser el producto escalar 0 la recta r y la dirección normal al plano forman pues un ángulo recto por lo que plano y recta tienen la misma dirección
Así pues recta y plano son paralelos.-
Nos falta saber si algún punto de la recta r está en el plano, si así fuera la recta lógicamente estaría contenida en el plano.
Veamos si el punto de la recta (2,1,0) pertenece al plano, sustituyendo este punto en la ecuación del plano:

-2 x 2 + 2 x 1 + 4 x 0 = -4 + 2 = -2

Vemos que nos da -2

Así pues si a = -2 recta y plano coinciden, pero no para a = 2 para el que son paralelos 

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